Question

5．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPE=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；

（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EPC=90°；

（3）∠ABC+∠EPC=180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．