Question

2．如图，将菱形ABCD的四个角沿相邻两边中点的连线向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，已知EH=8cm，EF=6cm．
（1）探究四边形EFGH是什么特殊四边形？并予以证明．
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质推知∠1=∠2，∠3=∠4，则根据邻补角的定义易求∠HEF=90°．同理推知四边形EFGH的其它三个内角都是90°，得证；
（2）先由勾股定理求出HF=10cm，根据矩形的对角线相等得出EG=HF=10cm．再证明四边形AEGD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出AD=EG=10cm．

解答 （1）证明：如图，由折叠的性质可知：∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，即∠2+∠3=90°，
∴∠HEF=90°，
同理可得：∠EFG=90°，∠FGH=90°，∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）解：∵∠HEF=90°，EH=8cm，EF=6cm，
∴HF=10cm．
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG=HF=10cm．
∵菱形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∵E，G分别是AB，CD中点，
∴AE=DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD=EG=10cm．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及折叠问题．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．