Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，对角线交于点O，CF垂直AB交AB的延长线于点F，过点B作BE∥AC交FC于EF．

（1）求BE的长：

（2）如图2，在OB上有一动点P，将△AOB绕A点顺时针旋转90°至△AOB'，P点的对应点为P′，现有一动点Q从P点出发，沿着适当路径先运动到O′点，再沿O′A运动至A点，再从A点沿适当的路径运动至P′点．求Q点的最短运动路径的长；

（3）若△ABO以每秒2个单位长度的速度沿射线AB向右平移，得到三角形△A1B1O1，当A1与点F重合时停止移动，设运动时间为t，在这个过程中，点O1关于直线BC的对称点为O″，当O″，F，C三点构成的三角形为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）1212；（3）t＝2或2或6s

【解析】

（1）根据菱形的性质和已知边、已知角，可证得△BCF、△BEF均是一角为30°的直角三角形，继而可求BE的长；

（2）根据菱形的性质，连接CO′交BD于Q，连接AQ，可得Q点的最短路径＝QO′+O′A +AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′，再根据勾股定理即可求解；

（3）①当点B1与F重合时，如图3所示，点O1在BC的中点，△O″FC为等腰三角形，可得t2s；②如图4所示，当FC＝FO″时，△O″FC为等腰三角形，易证四边形HO1B1F是平行四边形，t2s；③如图5所示，当点A1与F重合时， CF＝CO″，△O″FC为等腰三角形，t＝6s．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴AB＝BC＝8，∠BAC＝∠BCA＝30°，

∵BC∥AD，BE∥AC，

∴∠CBF＝∠DAB＝60°，∠BCA＝∠CBE＝30°，

∵CF⊥BF，

∴∠F＝90°，

∴∠BCE＝∠EBC＝30°，

∴BE＝EC，

在Rt△BCF中，BFBC＝4，

在Rt△BEF中，cos30°，

∴BE＝＝8．

（2）如图2中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC，

∴A、C关于BD对称，

连接CO′交BD于Q，连接AQ，此时Q点的运动路径最短，

最短路径＝QO′+O′A+AP′＝CQ+QO′+AO＝CO′+AO′12＝1212．

（3）①如图3中，当点B1与F重合时，点O1在BC的中点，易知AA1AB＝4，

∴t2s．

②如图4中，当FC＝FO″时，设FO″交BC于H，易证四边形HO1B1F是平行四边形，

FHBC＝4，HO″＝HO1＝B1F＝12﹣4，

∴AA1＝12，t2s．

③如图5，当点A1与F重合时，CF＝CO″，此时AA1＝12，t＝6s．

综上所述，当t＝2或2或6s时，△CFO″是等腰三角形．