Question

【题目】如图，已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，得到，连接．点从点出发，沿方向匀速行动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停让运动．连接，，交于点．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当为何值时，平分？

（2）设四边形的面积为，求与的函教关系式；

（3）在运动过程中，当时，求四边形的面积；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点为线段的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，，理由见解析

【解析】

（1）当平分时，≌，得到AO=NO，继而问题得解；

（2）由，进而求解；

（3）关键当时，得到，建立方程解得t的值继而求解；

（4）关键是过点C作CG//OB，得到∽，有，建立关于t的方程求解即可．

解:（1）当平分时，

∵∠AMO=∠NMO，MO=MO，∠AOB=∠COD，

∴≌(ASA)，

∴AO=NO，

∵，，，，

∴NO=AO=,

∴2t=4

∴

（2）如图，分别为的边OM，ON上的高

∵∠AOM=∠NOM=60°

∴，，

OM=4+t，ON=2t，

∴

（3）由知，

，MA=OM-DA，而OA=cos60°×AO=2

∴

∴

∴

∴

（4）存在，理由如下

如图过点C作CG//OB,交MN的延长线于点G ,

∴∠1=∠2，∠3=∠4，PD=PC

≌

∴MD=CG=t，

由CG//OB，易知∽

又∵,

而ON=2t，CN=8-2t，OM=OD+DM=4+t，

∴

解得：，

经检验，是原方程的解，

故存在某一时刻，使点为线段的中点．