Question

【题目】如图1所示，在正方形ABCD和正方形中，，连结．

（1）问题发现：_________；

（2）拓展探究：将正方形绕点A逆时针旋转，记旋转角为，连结，试判断：当≤时，的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明；

（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当三点共线时的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）无变化，理由见解析；（3）的长为或

【解析】

（1）延长交BC于点E，到等腰直角三角形，根据两直角边相等可得出结果

（2） 先根据两个等腰直角三角形相似得出，根据这个条件可以得到△∽△，就可以得出结论。

（3）共线分两种情况，根据旋转角度的不同进行分类讨论。

（1）；

提示：延长交BC于点E，如图3所示．

则，△为等腰直角三角形

∴

∴．

（2）无变化；

理由如下：连结AC、，如图4所示．

∵△ABC和△均为等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴△∽△

∴

∴当≤＜360°时，的值无变化；

（3）的长为或．

提示：分为两种情况：

①如图5所示，连结AC．

在Rt△中，由勾股定理得：

∴

∵

∴；

②如图6所示，

此时

∵

∴．

综上所述，的长为或．