Question

【题目】在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得.

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）点P坐标.

【解析】

（Ⅰ）如图①中，作CH⊥x轴于H．根据旋转的性质和三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ADCH是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（Ⅱ）如图②中，作DK⊥AC于K．在Rt△ADC中，求出DK、AK即可解决问题；
（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．由题意PA=AP′，推出AP′+PD=PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．只要求出直线A′D的解析式即可解决问题；

解：（Ⅰ）如图①中，作轴于H.

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

∴

（Ⅱ）如图②中，作于K.

在中，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

（Ⅲ）如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．

由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．

，

∴直线A′D的解析式为 ，

点P坐标