Question

【题目】平面直角坐标系中，横坐标为a的点 A在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点

（1）设，点（4,2）在函数 ， 的图像上.

①分别求函数 ，的表达式；

②直接写出使 成立的的范围；

（2）如图①，设函数 ，的图像相交于点，点的横坐标为，△的面积为16，求 的值；

（3）设，如图②，过点作 轴，与函数的图像相交于点，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图像与线段的交点一定在函数的图像上.

Answer 1

【答案】(1)①；②2＜x＜4；(2)k=6;(3)见解析.

【解析】

（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．

（1）解：∵点B（4，2） 在函数 ， 的图像上.∴k=4×2=8∴
∵点A在 上∴x=a=2，y=4∴点A（2,4）
∵A和点A'关于原点对称
∴点A'的坐标为（-2，-4）
∵一次函数y2=mx+n的图像经过点A'和点B

解得： ∴y2=x-2；
②由图像可知，当 时，y1=图象在y2=x-2图象上方，且两函数图象在x轴上方，
∴由图象得： 2＜x＜4；
（2）解：）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO

∵O为AA′中点
S△AOB=S△ABA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴×(+)×2a＝8
解得k=6；

（3）解：设A(a ， )，则A′(﹣a ，﹣)，代入得 ，
∴ ，
∴D(a，)
∴AD＝ ，

∵AD=AF，
∴ ，代入得 ，即P(，)
将点P横坐标代入 得纵坐标为，可见点P一定在函数的图像上．

故答案为(1)①；②2＜x＜4；(2)k=6;(3)见解析.