Question

10．如图，抛物线y=-x²+4x+5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形，则点P的坐标为（2+$\sqrt{6}$，3）；当a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$时，四边形PMEF周长最小．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式易求点C的坐标，再根据四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，-1）；连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．

解答 解：∵y=-x²+4x+5与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，5）
又∵M（0，1），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为3．
令y=-x²+4x+5=3，解得x=2±$\sqrt{6}$．
∵点P在第一象限，∴P（2+$\sqrt{6}$，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．（如图所示）
将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M₁（1，1）；
作点M₁关于x轴的对称点M₂，则M₂（1，-1）；
连接PM₂，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM₂最小．
设直线PM₂的解析式为y=mx+n，将P（2+$\sqrt{6}$，3），M₂（1，-1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{（2+\sqrt{6}）m+n=3}\\{m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4\sqrt{6}-4}{5}}\\{n=\frac{-4\sqrt{6}-1}{5}}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{4\sqrt{6}-4}{5}$x-$\frac{4\sqrt{6}+1}{5}$．
当y=0时，解得x=$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$．∴F（$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$，0）．
∵a+1=，∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．
∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$时，四边形PMEF周长最小．
故答案为：（2+$\sqrt{6}$，3），$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．

点评 本题是二次函数综合题，用到的知识点等腰三角形的判定和性质、二元一次方程组的运用以及二次函数的最值和轴对称-最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．