Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为AC、AB的中点，延长BC到F使$CF=\frac{1}{2}BC$．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）求证：DF=EB．

Answer 1

分析 （1）DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，再由已知条件得出DE=CF，即可证出四边形DECF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出DF=CE，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$AB=EB，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥CF，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF，
∴四边形DECF是平行四边形；
（2）证明：∵四边形DECF是平行四边形，
∴DF=CE，
∵∠ACB=90°，点E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=EB，
∴DF=EB．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．