题目内容
孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得
（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【答案】分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．
解答：
解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵
，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，
．
（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），
∴
．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
，
∴AE=2OE，
设点A（-m，
）（m＞0），则OE=m，
，
∴
，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），
∴
，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴
，
∴AE=2OE，
设点A（-m，
）（m＞0），
则OE=m，
，
∴
，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），
设A（-m，
）（m＞0），
则
，
，
，
∵∠AOB=90°
∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-
+
m2）2=
+m2+
m4，
解得：m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）解法一：设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
，
（1）×n+（2）×m得，
，
∴
（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴
，
∴
，
∴mn=4，
∴
．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
（说明：写出定点C的坐标就给2分）
解法二：∵点A是抛物线y=-
x2上的点，
∴设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
可得
，
化简，得
．
又易知△AEO∽△OFB，
∴
，
∴
，
∴mn=4，
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
由前可知，
，
，
，
由OA2+OB2=AB2，得：
，
化简，得mn=4．
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．解答：
解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，∵
，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，
．（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），∴
．又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
，∴AE=2OE，
设点A（-m，
）（m＞0），则OE=m，
，∴
，∴m=4，即点A的横坐标为-4．
解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），∴
，∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴
，∴AE=2OE，
设点A（-m，
）（m＞0），则OE=m，
，∴
，∴m=4，即点A的横坐标为-4．
解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，
），设A（-m，
）（m＞0），则
，
，
，∵∠AOB=90°
∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-
+
m2）2=
+m2+
m4，解得：m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）解法一：设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
，（1）×n+（2）×m得，
，∴
（8分）又易知△AEO∽△OFB，
∴
，∴
，∴mn=4，
∴
．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
（说明：写出定点C的坐标就给2分）
解法二：∵点A是抛物线y=-
x2上的点，∴设A（-m，
）（m＞0），B（n，
）（n＞0），直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
可得
，化简，得
．又易知△AEO∽△OFB，
∴
，∴
，∴mn=4，
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
由前可知，
，
，
，由OA2+OB2=AB2，得：
，化简，得mn=4．
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
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的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点
，两直角边与该抛物线交于
、
两点，请解答以下问题：
（如图1），求
的值；
轴于点
，测得
，写出此时点
（如图1），求a的值；
（如图1），求a的值；
（如图1），求a的值；