题目内容

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2
2
（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标
 
；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
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分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），B（n，-
1
2
n2）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．
解答：精英家教网解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2
2
，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-
1
2
．

（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，-
1
2
），
∴BF=
1
2
．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
AE
OE
=
OF
BF
=
1
1
2
=2，
∴AE=2OE，
设点A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），则OE=m，
AE=
1
2
m2，
∴
1
2
m2=2m，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，-
1
2
），
∴tan∠OBF=
OF
BF
=
1
1
2
=2，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴
AE
OE
=tan∠AOE=tan∠OBF=2，
∴AE=2OE，
设点A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），
则OE=m，AE=
1
2
m2，
∴
1
2
m2=2m，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．

解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，-
1
2
），
设A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），
则OB2=12+(
1
2
)2=
5
4
，OA2=m2+
1
4
m4，AB2=(1+m)2+(-
1
2
+
1
2
m2)2，
∵∠AOB=90°
∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-
1
2
+
1
2
m2）2=
5
4
+m2+
1
4
m4，
解得：m=4，即点A的横坐标为-4．

（3）解法一：设A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），B（n，-
1
2
n2）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
-mk+b=-
1
2
m2(1)
nk+b=-
1
2
n2(2)
，
（1）×n+（2）×m得，(m+n)b=-
1
2
(m2n+mn2)=-
1
2
mn(m+n)，
∴b=-
1
2
mn（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴
AE
OF
=
OE
BF
，
∴
0.5m2
n
=
m
0.5n2
，
∴mn=4，
∴b=-
1
2
×4=-2．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
（说明：写出定点C的坐标就给2分）

解法二：∵点A是抛物线y=-
1
2
x2上的点，
∴设A（-m，-
1
2
m2）（m＞0），B（n，-
1
2
n2）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
可得
1
2
•(
1
2
n2+
1
2
m2)(m+n)-
1
2
•m•
1
2
m2-
1
2
•n•
1
2
n2=
1
2
•OC•m+
1
2
•OC•n，
化简，得OC=
1
2
mn．
又易知△AEO∽△OFB，
∴
AE
OF
=
OE
BF
，
∴
0.5m2
n
=
m
0.5n2
，
∴mn=4，
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
由前可知，OA2=m2+
1
4
m4，OB2=n2+
1
4
n4，AB2=(m+n)2+(-
1
2
m2+
1
2
n2)2，
由OA2+OB2=AB2，得：(m2+
1
4
m4)+(n2+
1
4
n4)=(m+n)2+(-
1
2
m2+
1
2
n2)2，
化简，得mn=4．
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
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（1）若测得（如图1），求的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

 
孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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