Question

【题目】定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．

如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．

（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；

A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　；

（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．

①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；

②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式；

（3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）点P的坐标为（1，2）．

【解析】

（1）根据抛物线与一元二次方程的关系以及勾股定理解答；

（2）运用待定系数法求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；运用二元二次方程组、一元二次方程根的判别式求出过点D的“蛋圆”切线的解析式；

（3）根据题意求出点E的坐标，根据同底等高的两个三角形面积相等解答；

（4）根据∠BPC＝60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．

（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

当x＝0时，y＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3，

如图1，连接MC，由题意得，OM＝1，MC＝2，

∴OC＝，

∴C（0，），CD＝3+，

故答案为：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+；

（2）①如图2，NC⊥CM，

∵∠CMO=∠NMC，

∴，

∴，即，

∴，

∴N的坐标为（﹣3，0），

设NC的解析式为，

∴，

∴，

∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：，

②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝kx﹣3，

由，

得：x2﹣（2+k）x＝0，即：，

∵直线与抛物线只有一个交点，

∴，即k＝﹣2，

∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3．

（3）如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3，

∴E点坐标为（，0），

∵S△CDE＝S△CDF，

∴F点的横坐标为，

在Rt△MQF1中

，，

∴，

把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝．

∴F′（，），F′′（，）；

（4）如图4，∵∠BPC＝60°保持不变，

因此点P在一圆弧上运动．

此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°），BK为半径．

当BP为直径时，BP最大．

∵B（3，0），C（0，），

∴OB=，OC，

∴，

∵BP为直径，

∴∠PCB＝90°，

∵∠BPC＝60°

∴ ，，即：，

∴，

过点P作PR⊥y轴于点R，

∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180，

∴∠RCP+∠OCB＝90，

∠OBC+∠OCB＝90，

∴∠RCP＝∠OBC，

∴

∴

∴

∴PR＝1，RC＝．

所以点P的坐标为（1，2）．