Question

7．如图，在直角坐标系中，过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x²+2与直线y=-$\frac{1}{2}$x于A，B两点，以线段AB为对角线作正方形ADBC，已知点Q（a，b）为该抛物线上的点．
（1）写出AB的长度关于x的函数关系式，并指出AB的最小值；
（2）若x=1，当点Q在正方形ADBC边上（点A除外）时，求a的值．
（3）若a=-1时，当点Q在正方形ADBC的内部（包括边界）时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥x轴，表示出点A，B的坐标，进而求出AB的函数关系式，最后确定出它的最小值；
（2）先求得A、B的坐标，进而求得AB的长，根据正方形的性质，求得C、D的坐标，然后根据待定系数法求得直线AC的解析式，与抛物线联立方程，解方程即可求得Q的坐标，从而求得a；
（3）分两种情况：①当P在y轴的右侧时，根据题意列出x+1=x²+2-3，x+1=-$\frac{1}{2}$x+3；
②当P在y轴的左侧时，则-x-1=x²+2-3，-x-1=-$\frac{1}{2}$x+3；解方程即可求得．

解答 解：（1）∵过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x²+2与直线y=-$\frac{1}{2}$x于A，B两点，
∴A（x，x²+2），B（x，-$\frac{1}{2}$x），
∴AB=x²+2-（-$\frac{1}{2}$x）=x²+2+$\frac{1}{2}$x=（x+$\frac{1}{4}$）2+$\frac{31}{16}$，
∴当x=-$\frac{1}{4}$时，AB的最小值为$\frac{31}{16}$．
（2）若x=1，则P（1，0），
∵过点P（1，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x²+2与直线y=-$\frac{1}{2}$x于A，B两点，
∴A（1，3），B（1，-$\frac{1}{2}$），
∴AB=$\frac{7}{2}$，
∴AB的一半为$\frac{7}{4}$，
∵以线段AB为对角线作正方形ADBC，
∴C，D的纵坐标为3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵点C的横坐标为1-$\frac{7}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴C（-$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$），
∵A（1，3），
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∴与抛物线y=x²+2联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（0，2），
∵点Q（a，b）为该抛物线上的点．
∴a=0．
（3）若a=-1，则Q的坐标为（-1，3），
①当P在y轴的右侧时，
∴x+1=x²+2-3，解得x₁=2，x₂=0（舍去），
-x+2=-$\frac{1}{2}$x，解得x=4，
∴2≤x≤4；
②当P在y轴的左侧时，
则-x-1=x²+2-3，解得x=-1，
-x-1=-$\frac{1}{2}$x+3，解得x=-$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{8}{3}$≤x≤-1；
综上，x的取值范围是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了正方形的性质，求一次函数的解析式的方法，二次函数的解析式及极值的确定方法，根据题意列出方程是本题的关键．