Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，CD=5，则⊙O的半径为$\frac{65}{8}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AD、和AC，连接BE，求出△ADC∽△ABE，得出比例式，即可求出AE，即可求出半径．

解答 解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ADC=∠ABE，
∵根据圆周角定理得：∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{15}{12}$=$\frac{AE}{13}$，
解得：AE=$\frac{65}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{65}{8}$，
故答案为：$\frac{65}{8}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆、相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识点，能求出△ADC∽△ABE是解此题的关键．