Question

16．如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+m与y轴交于点A，点直线y=-x+5交于点B（4，n），C为直线y=-x+5上任意一点
（1）求m，n的值，；
（2）求使线段AC长度最短时点C的坐标，并得出AC的最小值为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先把点B（4，n）代入直线y=-x+5得出n的值，再把B点坐标代入直线y=2x+m求得m的值即可；
（2）过点A作直线y=-x+5的垂线，垂足为C，作CM⊥AN于M．利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解决问题．

解答 解：（1）∵点B（4，n）在直线上y=-x+5，
∴n=-4+5=1，B（4，1）．
∵点B（4，1）在直线上y=2x+m上，
∴8+m=1，解得m=-7；

（2）过点A作直线y=-x+5的垂线，垂足为C，此时线段AC最短．作CM⊥AN于M．
∵直线y=-x+5与y轴交点N（0，5），直线y=2x-7与y轴交点A（0，-7），
∴AN=12，∠ANC=45°，
∵∠ACN=90°，
∴AC=CN，
∵CM⊥AN，
∴AM=CM=6，AC=6$\sqrt{2}$，
∴OM=1，
∴C（6，-1）．
故答案为6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质，结合图形，选择适当的方法解决问题．