Question

13．如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向、距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/h的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/h的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为9（$\sqrt{2}$-1）h．（结果保留根号）

Answer 1

分析 连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q，根据PQ是直角三角形PQB和PQA的公共边，可用时间表示出PB和PA的长，然后根据PQ在不同直角三角形中不同的表达式，来求出时间．

解答 解：设出发t小时后甲船在乙船的正东方向，连接AB在P正南方向取点Q，则PQ⊥BA于Q，
在Rt△PQC中，∠CPB=60°，∴PQ=PBcos60°=$\frac{1}{2}$×18t=9t，
在Rt△PQB中，∠APQ=45°，∴PQ=APcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（81-9t）
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$（81-9t）=9t，
解得：t=$\frac{9\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=9（$\sqrt{2}$-1），
答：当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为9（$\sqrt{2}$-1）h．
故答案为：9（$\sqrt{2}$-1）．

点评 此题考查了解直角三角形，关键是要构建出与已知条件和问题相关的直角三角形，然后依据公共直角边来求解．