Question

4．如图，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，当AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$时，这两个直角三角形相似．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出BC=3，再分类讨论：由于∠B=∠ACD=90°，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA；当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，然后分别利用比例性质求出CD，再利用勾股定理计算对应的AD的长．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠B=∠ACD=90°，
∴当AB：CD=BC：AC时，△ABC∽△DCA，即4：CD=3：5，解得CD=$\frac{20}{3}$，此时AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{3}$；
当AB：AC=BC：CD时，△ABC∽△ACD，即4：5=3：CD，解得CD=$\frac{15}{4}$，此时AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{4}$；
综上所述，当AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$时，这两个直角三角形相似．
故答案为$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；注意利用对应边的变换进行分类讨论．