Question

19．在?ABCD中，AB=AC，CE是AB边上的高，若AB=AC=5，CE=4，则AD=2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分∠BAC为锐角和钝角两种情况考虑，在Rt△AEC中通过勾股定理求出线段AE的长度，再根据边与边的关系找出线段BE的长度，最后在Rt△BEC中通过勾股定理求出线段AD的长度即可．

解答 解：①当∠BAC为锐角时，如图1所示．

在Rt△AEC中，AC=5，CE=4，∠AEC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∵AB=5，AB=AE+BE，
∴BE=2．
在Rt△BEC中，CE=4，BE=2，∠BEC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
②当∠BAC为钝角时，如图2所示．

在Rt△AEC中，AC=5，CE=4，∠AEC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∵AB=5，AB=BE-AE，
∴BE=8．
在Rt△BEC中，CE=4，BE=8，∠BEC=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
综上可知：AD的长度为2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是求出线段BE的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分类讨论是关键，解决该题型时，部分同学往往只考虑到了第一种情况，在以后的练习中要注意考虑问题全面性的培养．