Question

10．问题探究：
（1）如图1，点A是线段BC外一动点，若AB=a，BC=b，求线段AC长的最大值（用含a，b的式子表示）；
（2）如图2，点A是线段BC外一动点，且AB=1，BC=4，分别以AB、AC为边作等边△ABD、等边△ACE，连接CD、BE．
①求证：CD=BE；
②求线段BE长的最大值；
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、B（5，0），点P、M是线段AB外的两个动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用三边关系AC≤AB+BC即可解决问题；
（2）①根据SAS即可证明；
②线段BE长的值最大值即为线段CD长的最大值，求出线段CD长的最大值即可；
（3）将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，可知线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，由（1）的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB+AN的值，由此即可解决问题；

解答 解：（1）∵点A是线段BC外一动点，且AB=a，BC=b，则AC≤AB+BC，且当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，此时AC的长的最大值为：AB+BC=a+b．

（2）①∵△ABC，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=BE．

②∵CD=BE，
∴线段BE长的值最大值即为线段CD长的最大值，此时BE的最大值为：BD+BC=AB+BC=5．

（3）连接BM．∵PB=PM，∠MPB=90°，
∴可以将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM，
∴线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，
由（1）的结论可知，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB+AN的值．
∵A（2，0），B（5，0），
∴OA=2，OB=5，AB=3，
∴AN=$\sqrt{2}$AP=2$\sqrt{2}$，
∴最大值为2$\sqrt{2}$+3；
如图4中，作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=$\frac{1}{2}$AN=$\sqrt{2}$，
∴OE=OA-AE=2-$\sqrt{2}$，
∴P（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
即线段AM的最大值为2$\sqrt{2}$+3，此时P的坐标为（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．