Question

3．（1）如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．
（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，EF=BE+DF成立吗？请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）如图（1）中，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，只要证明△AFE≌△AFE′即可解决问题．
（2）如图（2）中，将△ABE绕点A旋转到△ADE′位置连接E′F．只要证明△FAE≌△FAE′得EF=FE′，理由等量代换和图形中相关线段的和差关系证得EF=BE+DF．

解答 （1）证明：如图（1）中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴点F、D、E′共线，
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AFE和△AFE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFE′（SAS），
∴EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

（2）解：EF=BE+DF成立．理由如下：
如图（2）中，因为AB=AD，所以可以将△ABE绕点A旋转到△ADE′位置，连接E′F．
∵∠B+∠ADF=90°，∠B=∠E′DA，
∴∠E′DF=∠E′DA+′ADF=90°，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF，∠E′AD=∠BAE，
∴∠E′AF=∠EAF，
在△FAE和△FAE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAE′（SAS），
EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

点评 本题考查了四边形综合题．其中涉及到了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，这个全等三角形，属于中考常考题型．