Question

15．如图，半圆的直径AB=10cm，把弓形沿AD对折，交直径AB于C．若AC=6，则AD的长（　　）

• A． 4$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC′于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC′，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3，根据勾股定理，得DE=4，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．

解答 解：连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC′于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC′=3，
∵∠C′AD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴点D是弧BC的中点．
∴∠DOB=∠OAC′=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠OED}\\{∠OAF=∠DOE}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△ODE（AAS），
∴OE=AF=3，
∵DO=5，
∴DE=4，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查的是翻转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题是关键．