题目内容
平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，∠B=45°，点P在边BC上，由点
B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；
（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，请用含有t的代数式表示y的值；
（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是?ABCD面积的四分之三？
分析：（1）因为在平行四边形ABCD中，AQ∥BP，只要再证明AQ=BP即可，即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程．
（2）因为四边形ABPQ是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表示出来，缺少高，过A点作BC边上的高，再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可．
（3）因为平行四边形ABCD的面积可求，利用（2）中的关系式列方程即可．
（2）因为四边形ABPQ是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表示出来，缺少高，过A点作BC边上的高，再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可．
（3）因为平行四边形ABCD的面积可求，利用（2）中的关系式列方程即可．
解答：解：（1）由已知可得：BP=2t，DQ=t，
∴AQ=12-t．
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴12-t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒时，四边形ABPQ为平行四边形；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∵AB=2，∠B=45°
∴AE=
AB=
∴SABPQ=
（BP+AQ）×AE=
（12+t），
即y=
（12+t）；
（3）有（2）得S?ABCD=12
，
∵
×12
=
（12+t），
∴t=6，
∴BP=2t=12=BC，
∴当P与C重合时，四边形ABPQ的面积是?ABCD面积的四分之三．
∴AQ=12-t．
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴12-t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒时，四边形ABPQ为平行四边形；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∵AB=2，∠B=45°
∴AE=
| ||
| 2 |
| 2 |
∴SABPQ=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
即y=
| ||
| 2 |
（3）有（2）得S?ABCD=12
| 2 |
∵
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴t=6，
∴BP=2t=12=BC，
∴当P与C重合时，四边形ABPQ的面积是?ABCD面积的四分之三．
点评：本题考查了平行四边形的判断方法：有一对对边平行且相等的四边形是平行四边形，梯形的面积公式；等腰直角三角形的性质；和用代数方法（列方程）解决几何问题；动点问题，综合性很强．
练习册系列答案
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