Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：
①BE=DF；②AG=GH=HC；③2EG=BG；④S_△ABC=5S_△AGE；
其中正确的有

①②③④

．（填序号）

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，易得DE=BF，则可判断四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质可判断BE=DF；由AE∥BC可得到△AEG∽△CBG，根据相似三角形的性质的

AG

CG

=

EG

BG

=

AE

BC

=

1

2

，则CG=2AG，BG=2GE，同理可得AF=2CH，于是有AG=GF=HC；由△AEG∽△CBG得

S△AEG

S△BCG

=（

AE

BC

）²=

1

4

，再由BG=2GE得S_△ABG=2S_△AEG，所以S_△ABC=5S_△AGE．

解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=

1

2

AD，BF=

1

2

BC，
∴DE=BF，
而DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF，所以①正确；
∵AE∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴

AG

CG

=

EG

BG

=

AE

BC

=

1

2

，
∴CG=2AG，BG=2GE，所以③正确；
同理可得AF=2CH，
∴AG=GF=HC，所以②正确；
∵△AEG∽△CBG，
∴

S△AEG

S△BCG

=（

AE

BC

）²=

1

4

，即S_△BCG=4S_△AEG，
∵BG=2GE，
∴S_△ABG=2S_△AEG，
∴S_△ABC=5S_△AGE；所以④正确．
故答案为①②③④．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了平行四边形的判定与性质．