Question

3．两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断线段ME和线段MC之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 由全等三角形的性质可得到DA=AB，ED=AC，接下来可证明△DAB是等腰直角三角形依据直角三角形的性质可知AM=$\frac{1}{2}$BD=MD，然后可求得∠EDM=∠MAC=105°，接下来，可证明△MDE≌△MAC，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．

解答 解：ME=MC．
连接MA．

∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M为BD的中点，
∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），
AM=$\frac{1}{2}$BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中$\left\{\begin{array}{l}{ED=AC}\\{∠MDE=∠CAM}\\{MD=AM}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△MAC．
∴ME=MC．

点评 此题考查全等三角形的判定性质及等腰三角形性质，证得△MDE≌△MAC是解题的关键．