Question

19．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，根据同角的补角相等求出∠CDF=∠B，然后利用“角角边”证明△CDF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=BE，再利用“HL”证明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据AF=AD+DF等量代换即可得证．

解答 证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE=CF，
∵∠B+∠ADC=180°．
∠ADC+∠CDF=180°（平角定义），
∴∠CDF=∠B，
在△CDF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠B}\\{∠F=∠CEB=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE=AF，
∵AF=AD+DF，
∴AE=AD+BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明．