Question

如图，在△ABC中，BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
（1）若∠ABC=20°，∠ACB=80°，则∠BPC=

 

．
（2）若∠A=70°，则∠BPC=

 

．
（3）试猜想∠BPC与∠A的数量关系，并证明你的猜想的正确性．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据∠ABC=20°，∠ACB=80°得出∠DBC与∠BCE的度数，再根据BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线得出∠PBC与∠PCB的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠BPC的度数；
（2）由角平分线的定义及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BCP=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠CBA），∠CBP=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB）；所以∠BCP+∠CBP=∠A+

1

2

（∠CBA+∠ACB），进而利用三角形的内角和定理求解；
（3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论．

解答：解：（1）∵∠ABC=20°，∠ACB=80°，
∴∠DBC=180°-20°=160°，∠BCE=180°-80°=100°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC=80°，∠PCB=

1

2

∠BDE=50°，
∴∠BPC=180°-80°-50°=50°．
故答案为：50°；

（2）∵∠BCP=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠CBA），∠CBP=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），
∴∠BCP+∠CBP=∠A+

1

2

（∠CBA+∠ACB），
又∵∠BCP+∠CBP=180°-∠BPC，∠CBA+∠ACB=180°-∠A，
∴180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
∵∠A=70°，
∴∠BPC=55°．
故答案为：55°；

（3）猜想：∠A=180°-2∠BPC．
同（2）可得，180°-∠BCP=∠A+

1

2

（180°-∠A），
即∠A=180°-2∠BPC．

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．