Question

如图，已知双曲线y=

k

x

（k为正整数）上只有四个整点，如图顺次连接A、B、C、D四点，且S_{四边形ABCD}=16，则k=

 

．

Answer 1

分析：先根据双曲线y=

k

x

（k为正整数）上只有四个整点可知A与C，B与D关于原点对称，A与B，C与D关于直线x=y对称，故可得出四边形ABCD是矩形，设A（a，

k

a

），则B（

k

a

，a），C（-a，-

k

a

），D（-

k

a

，-a），再根据两点间的距离公式用k表示出AB及BC的长，利用矩形的面积公式即可得出结论．

解答：解：∵双曲线y=

k

x

（k为正整数）上只有四个整点，
∴A与C，B与D关于原点对称，A与B，C与D关于直线x=y对称，
∴四边形ABCD是矩形，
设A（a，

k

a

），则B（

k

a

，a），C（-a，-

k

a

），D（-

k

a

，-a），
∴AB=

(a- k a )2+( k a -a)2

=

2

（

k

a

-a），BC=

( k a +a)2+(a+ k a )2

=

2

（

k

a

+a），
∴S_{四边形ABCD}=AB•CD=2（

k

a

-a）（

k

a

+a）=16，
∴（

k

a

-a）（

k

a

+a）=8，
∴

k a -a=1 k a +a=8

或

k a -a=2 k a +a=4

，
当

k a -a=1① k a +a=8②

时，②-①得，a=

7

2

（舍去）；
当

k a -a=2 k a +a=4

时，解得

a=1 k=3

．
故答案为：3．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．