题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=
（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2，
）；（3）不存在．理由见解析.
【解析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；
（2）设M（a，
），由△OPM∽△OCP，推出
，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；
（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中.
（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 
，
解得
，
∴y=-x+m+1，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a，），
∵△OPM∽△OCP，
∴，
∴OP2=OCOM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM=
，
∴
，
∴10=4，
∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=±，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=或2，
当a=时，M（，2），
PM=
，CP=
，
，（舍去）
当a=2时，M（2，），PM=
，CP=，
∴
，成立，
∴M（2，
）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，
），
OP的解析式为：y=
x，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（，），F（x，
x），
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-
xx-=4.1，
化简得到：x4-9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
【题目】对于抛物线
.
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x | … | … | |||||
y | … | … |
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程
（t为实数）在
＜x＜
的范围内有解，则t的取值范围是 ．
