Question

4．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，
E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D
时，点G移动的路径长为2．

Answer 1

分析 设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似结合E为MN的中点，S为KH的中点可得A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点得B，F，S共线，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，结合G为EF的中点可得G为PS的中点，即G的轨迹为△CSD的中位线，由三角形的中位线长是底边的一半得答案．

解答 解：如图，

设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E为MN的中点，S为KH的中点，
∴A，E，S共线，
F为QR的中点，S为KH的中点，
∴B、F、S共线，
由△AME∽△PQF，得∠SAP=∠FPB，
∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA=∠FBP，
∴PE∥FS，
则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，
∴G的轨迹为△CSD的中位线，
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，
∴点G移动的路径长$\frac{1}{2}×4=2$．
故答案为：2．

点评 本题考查了轨迹方程，考查了三角形的中位线知识，考查了三角形相似及动点的轨迹，是中档题．