Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P是否在直线y=x上？如果在，请给出证明；如果不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据正方形的性质求出BP的长，再由∠BAO=45°判断出四边形OAPB是正方形，由正方形的性质即可得出结论；
（2）作DE⊥x轴于E，设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D点坐标，再根据P是线段BD的中点即可得出P点坐标，进而可得出结论．
解答：（1）解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AC⊥BD，
∴BP=AP=2，
当∠BAO=45°时，△AOB及△BPA是等腰直角三角形，
∴OA=OB=2，
∴四边形OAPB是正方形，
∵点P在第一象限，
∴P（2，2）；

（2）无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P是在直线y=x上．
证明：作DE⊥x轴于E，设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n）．
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：
∵，
∴△AOB≌△DEA（ASA） 
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
∴D点坐标为（m+n，m）
∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n）
∴P点坐标为（，），
∴点P在直线y=x上，即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上．
点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及正方形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．