Question

已知：抛物线的对称轴是x=2，且经过点A（1，0），且与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C。
（1）确定此二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后直线m的解析式；
（3）在直线m上是否存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形，如果存在，求出满足条件的E点的坐标，如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴是x=2，且经过点A（1，0），
，
∴b=-4，c=3，
∴y=x²-4x+3，
∴y=（x-2）²-1，
∴顶点F坐标（2，-1）；
（2）设CD的解析式为：y=kx+b，
D（2，-1），C（0，3），
∴，
解得：k=-2，b=3，
∴DC的解析式为：y=-2x+3，
设平移后直线m的解析式为：y=-2x+k，
∵直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，
∴直线m经过原点，
∴平移后直线m的解析式为：y=-2x；
（3）过点C作CE∥AB交M于点E，
由，
∴x=，y=3，
∴E点的坐标为（，3），
过点A作E₁A∥BC交m于点E₁，
设CB解析式为y=kx+b，
∵经过B（3，0），C（0，3），
∴CB解析式为：y=-x+3，
设E₁A解析式为：y=-x+b，
∵E₁A过点A（1，0），
∴b=1，
∴E₁A的解析式为y=-x+1，
∵y=-2x，
∴x=-1，y=2，
∴E₁点坐标为（-1，2），
过点B作BE₃∥AC，则可求E₃坐标为：E₃（9，-18）。