Question

【题目】如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，

（1）求证：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（3）连接PQ,当点P、Q运动多少秒时，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CMQ的大小不变且为60度；（3）t=2.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；

（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ＝∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；

（3）分三种情况分别讨论即可求解.

（1）根据路程=速度×时间可得：AP=BQ

∵△ABC是等边三角形

∴∠PAC=∠B=60°，AB=AC

∴△ABQ≌△CAP（SAS）

（2）∵ △ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=60°

因此，∠CMQ的大小不变且为60度

（3）当AP=AQ时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立，故不符合题意；

当PQ=AQ时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立，故不符合题意；

当AP=PQ时，如图，当AQ⊥BC时，AP=BP=PQ,故t=2÷1=2时，△APQ为等腰三角形；

综上，当t=2时，△APQ为等腰三角形，此时AP=PQ.