Question

如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；

⑵若a、b、c满足了

①求b：b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

 

Answer 1

解：（1） C（3，0）；

（2）①抛物线，令=0，则=，

∴A点坐标（0，c）．

∵，∴ ，

∴点P的坐标为（）．

∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．

根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．

又∵抛物线F′经过点D（），∴．

∴．

又∵，∴．

∴b:b′=． 7分

②由①得，抛物线F′为．

令y=0，则．

∴．

∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．

设直线OP的解析式为．

∵点P的坐标为（），

∴，∴，∴．

∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．

∴．

∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．

把代入，得．

∴点B的坐标为．

∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），

∴四边形OABC是平行四边形．

又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形