Question

12．如图，AB是⊙O的直径，点P是$\widehat{AB}$的中点．
（1）求证：∠ABP=45°；
（2）若AC=6，BC=8，连接CP交AB于D，求$\frac{CD}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠APB=90°，又由点P是$\widehat{AB}$的中点，可得AP=BP，即可得△APB是等腰直角三角形，继而求得∠ABP=45°；
（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，连接OP，由AC=6，BC=8，可求得AB的长，继而求得OP的长，然后利用三角形的面积公式，求得CE的长，易证得△PDO∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∵点P是$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，
∴AP=BP，
∴∠ABP=45°；

（2）解：过点C作CE⊥AB于点E，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，OP=5，
∵AP=BP，OA=OB，
∴PO⊥AB，
∴∠POD=∠CED=90°，
∵∠PDO=∠CDE，
∴△PDO∽△CDE，
∴$\frac{CD}{PD}=\frac{CE}{PO}$=$\frac{\frac{24}{5}}{5}$=$\frac{24}{25}$．

点评 此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．