如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.△AOB为等边三角形.点A的坐标是.点B在第一象限.AC是∠OAB的平分线.并且与y轴交于点E.点M为直线AC上一个动点.把△AOM绕点A顺时针旋转.使边AO与边B重合.得到△ABD．假设反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点B(1)当M与点E重合时.反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象是否经过AD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4$\sqrt{3}$，0），点B在第一象限，AC是∠OAB的平分线，并且与y轴交于点E，点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边B重合，得到△ABD．假设反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象经过点B
（1）当M与点E重合时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象是否经过AD的中点？为什么？
（2）是否存在点M，使反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象必经过AD的中点？若存在求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

分析（1）当M与点E重合时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象不经过AD的中点．理由：设AD的中点为点F，作BH⊥OA，由△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4$\sqrt{3}$，0），可求出OA=OB=4$\sqrt{3}$，OH=HA=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△BOH中，由勾股定理可求BH的值，进而确定B点的坐标，由反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象经过点B，从而确定反比例函数的关系式：y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$，然后由AC是∠OAB的平分线，可得∠OAE=∠BAE=30°，在Rt△AOE中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得OE=$\frac{1}{2}$AE，由勾股定理得：OA²+OE²=AE²，可求：OE=4，进而可得AE=8，由△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD，根据旋转的性质，可得AD=AE=8，∠DAB=∠MAO=30°，进而可得∠AOD=90°，由点F是AD的中点，可得点F的坐标为：（4$\sqrt{3}$，4），然后将F点的坐标代入关系式，验证点F不在反比例函数y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$的图象上，从而得到：当M与点E重合时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象不经过AD的中点；
（2）存在点M，使反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象必经过AD的中点．由（1）知：OE=4，进而确定E（0，4），然后设直线AC的关系式为：y=kx+b，将A（4$\sqrt{3}$，0），E（0，4）代入上述关系式，从而可得直线AC的关系式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，由点M在直线AC上，可设M的坐标为：（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4），进而可得MP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4，然后由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AM=2MP=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$+8，由△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD，根据旋转的性质，可得AD=AM=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a+8，∠DAB=∠MAO=30°，进而可得∠AOD=90°，从而确定AD的中点的坐标，由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象必经过AD的中点，将AD的中点，代入y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$，从而确定M的坐标．

解答解：（1）当M与点E重合时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象不经过AD的中点．

理由：设AD的中点为点F，作BH⊥OA，
∵△AOB为等边三角形，点A的坐标是（4$\sqrt{3}$，0），
∴OA=OB=4$\sqrt{3}$，OH=HA=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，∠OAB=60°，
在Rt△BOH中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{O{B}^{2}-O{H}^{2}}$=6，
∴B点的坐标为：（2$\sqrt{3}$，6），
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象经过点B，
∴k=xy=12$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的关系式：y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$，
∵AC是∠OAB的平分线，
∴∠OAE=∠BAE=30°，
在Rt△AOE中，
∵∠OAE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE，
由勾股定理得：OA²+OE²=AE²，
即（4$\sqrt{3}$）²+OE²=（2OE）²，
解得：OE=4，
∴AE=8，
∵△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．
∴AD=AE=8，∠DAB=∠MAO=30°，
∴∠AOD=∠OAB+∠DAB=90°，
∵点F是AD的中点，
∴点F的坐标为：（4$\sqrt{3}$，4），
当x=4$\sqrt{3}$时，y=$\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$=3≠4，
∴点F不在反比例函数y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$的图象上，
即当M与点E重合时，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象不经过AD的中点．
（2）存在点M，使反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象必经过AD的中点．

由（1）知：OE=4，
∴E（0，4），
设直线AC的关系式为：y=kx+b，
将A（4$\sqrt{3}$，0），E（0，4）代入上述关系式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的关系式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，
∵点M在直线AC上，
∴设M的坐标为：（a，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4），
∴MP=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4，
∵∠MAO=30°，
∴AM=2MP=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$+8，
∵△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．
∴AD=AM=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a+8，∠DAB=∠MAO=30°，
∴∠AOD=∠OAB+∠DAB=90°，
∴AD的中点的坐标为：（4$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象必经过AD的中点，
∴将AD的中点的坐标（4$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4），代入y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$得：
-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+4=$\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$，
解得：a=-$\sqrt{3}$，
∴M（-$\sqrt{3}$，5）．
即存在点M（-$\sqrt{3}$，5），使反比例函数y=$\frac{12\sqrt{3}}{x}$的图象必经过AD的中点．