Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD＝4.

【解析】

（1）连接OD，AD，根据AB是⊙O的直径可得AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝CD，进一步根据三角形的中位线定理可得OD∥AC，进而推得OD⊥EF，问题即得解决；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD＝30°，再在直角三角形ABD中利用30°的角的性质即可求得结果.

解：（1）证明：连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠BAC＝30°，

∴BD＝AB＝＝4．