Question

5．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过（0，1）和（2，-3）两点．
（1）如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围；
（2）若对称轴为x=-1，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围；
（2）可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为-1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．

解答 解：将（0，1）和（2，-3）代入抛物线的解析式中有：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{4a+2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2-2a}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=ax²-（2+2a）x+1．
（1）由题意知：x=-$\frac{-（2+2a）}{2a}$＜0，即-$\frac{1+a}{a}$＜0；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0；
（2）∵x=-$\frac{-（2+2a）}{2a}$=-1，
∴$\frac{1+a}{a}$=-1，
解得a=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+1．

点评 本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．