Question

4．如图，AE是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，AD与EB交于点C，连结AB和DE，过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED=∠AED．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若CD=CF=6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠ADE=90°，则∠F+∠FED=90°，于是根据∠F=∠AED得到∠AEF=90°，然后根据切线的判定定理可得EF是⊙O切线；
（2）先证明△DCE∽△DEF，则利用相似比可计算出DE=6$\sqrt{2}$，再判断△AEC为等腰三角形得到EA=EC，AD=CD=6，接着根据勾股定理得到AE=6$\sqrt{3}$，然后利用面积法计算出AB=4$\sqrt{6}$，最后利用勾股定理计算BE的长．

解答 （1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠F+∠FED=90°，
∵∠F=∠AED，
∴∠AED+∠FED=90°，即∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴EF是⊙O切线；
（2）解：∵∠CED=∠F，∠CDE=∠EDF，
∴△DCE∽△DEF，
∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{DE}{DF}$，即$\frac{6}{DE}$=$\frac{DE}{12}$，解得DE=6$\sqrt{2}$，
∵ED⊥AD，∠AED=∠CED，
∴△AEC为等腰三角形，
∴EA=EC，AD=CD=6，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（6\sqrt{2}）^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴EC=6$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$DE•AC，
∴AB=$\frac{6\sqrt{2}×12}{6\sqrt{3}}$=4$\sqrt{6}$，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．熟练应用勾股定理和相似比计算线段的长是解决（2）小题的关键．