Question

如图，定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝(k＞0)的对径．

(1)求双曲线y＝的对径；

(2)若双曲线y＝(k＞0)的对径是10，求k的值；

(3)仿照上述定义，定义双曲线y＝(k＜0)的对径．

Answer 1

答案：
解析：

分析：过A点作AC⊥x轴于C， 　　(1)先解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)，即OC＝AC＝1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，则AB＝2OA＝2，于是得到双曲线y＝的对径； 　　(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5，根据OA＝OC＝AC，则OC＝AC＝5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)即可得到k的值； 　　(3)双曲线y＝(k＜0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y＝(k＜0)的对径． 　　解答：解：过A点作AC⊥x轴于C，如图， 　　(1)解方程组，得，， 　　∴A点坐标为(1，1)，B点坐标为(－1，－1)， 　　∴OC＝AC＝1， 　　∴OA＝OC＝， 　　∴AB＝2OA＝2， 　　∴双曲线y＝的对径是2； 　　(2)∵双曲线的对径为10，即AB＝10，OA＝5， 　　∴OA＝OC＝AC， 　　∴OC＝AC＝5， 　　∴点A坐标为(5，5)， 　　把A(5，5)代入双曲线y＝(k＞0)得k＝5×5＝25， 　　即k的值为25； 　　(3)若双曲线y＝(k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点， 　　则线段AB的长称为双曲线y＝(k＞0)的对径． 　　点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．

提示：

考点：反比例函数综合题．