Question

如图，△ABC中，点D为AB中点，CD=AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在图中画出△ABC的外接圆；
（3）已知AC=6，BC=8，点E是△ABC外接圆上任意一点，点M是弦AE的中点，当点E在△ABC外接圆上运动一周，求点M运动的路径长．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：（1）由三条线段相等CD=AD=BD，得到∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，再由三角形内角和得出∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°△ABC为直角三角形．
（2）作AB和AC的中垂线交于点D，以D为圆心，AD为半径画圆，所得三角形就是△ABC的外接圆，因为CD=AD=BD，所以也可直接以D为圆心，AD为半径画圆，所得三角形就是△ABC的外接圆，
（3）连接DM．M是弦AE的中点，D为圆心，DM⊥AE，所以点M在以AD为直径的圆上运动．求出AD的长度，再求周长为点M的运动路径长为5π．

解答：解：（1）△ABC为直角三角形．
理由如下：
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠A．
又∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B．
∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
（2）①如图，作AB和AC的中垂线交于点D，以D为圆心，AD为半径画圆，所得三角形就是△ABC的外接圆，
②也可直接以D为圆心，AD为半径画圆，所得三角形就是△ABC的外接圆，

（3）如图，连接DM．

∵M是弦AE的中点，D为圆心，
∴DM⊥AE，
∴点M在以AD为直径的圆上运动．
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴AD=5．
∴点M的运动路径长为5π．

点评：本题主要考查了复杂作图，作外接圆及外心，解决本题的关键是找准外接圆的圆心，明确M的规迹是以AD为直径的圆．