Question

课程学习：正方形折纸中的数学．
动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．
数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；
解决问题：
（3）如图3，按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；
第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；
第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）由对折得出CB=CB′，在Rt△B′FC中，sin∠CB′F=

CF

CB′

=

1

2

，得出∠CB′F=30°，
（2）连接BB′交CG于点K，由对折可知，∠B′AE=∠B′BE，由∠B′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90°，得到∠B′BE=∠GCB，又由折叠知∠GCB=∠GCB′得∠B′AE=∠GCB′，
（3）连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形，

解答：解：（1）如图1，由对折可知，∠EFC=90°，CF=

1

2

CD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，
∴CF=

1

2

BC，
∵CB′=CB，
∴CF=

1

2

CB′
∴在Rt△B′FC中，sin∠CB′F=

CF

CB′

=

1

2

，
∴∠CB′F=30°，

（2）如图2，连接BB′交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB，

∴B′A=B′B，
∠B′AE=∠B′BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠B′BE+∠KBC=90°，
由折叠知，∠BKC=90°，
∴∠KBC+∠GCB=90°，
∴∠B′BE=∠GCB，
又由折叠知，∠GCB=∠GCB′，
∴∠B′AE=∠GCB′，

（3）四边形B′PD′Q为正方形，
证明：如图3，连接AB′

由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN，
∴∠B′AE=∠PCN，
由对折知∠AEB′=∠CNP=90°，AE=

1

2

AB，CN=

1

2

BC，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AE=CN，
在△AEB′和△CNP

∠B′AE=∠PCN AE=CN ∠AEB′=∠CNP

∴△AEB′≌△CNP（ASA）
∴EB′=NP，
同理可得，EB′=MQ，
由对称性可知，EB′=FD′，
∴EB′=NP=FD′=MQ，
由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，
∴OB′=OP=0D′=OQ，
∴四边形B′PD′Q为矩形，
由对折知，MN⊥EF，于点O，
∴PQ⊥B′D′于点0，
∴四边形B′PD′Q为正方形，

点评：本题主要考查了四边形的综合题，解决本题的关键是找准对折后的相等角，相等边．