Question

2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=x+1与l₂：y=-x+2分别交x轴于点B和点C，点D是直线l₂与y轴的交点，两直线交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）设M（x，y）是直线l₁上一点．△BCM的面积为S．求S与x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为6．
（3）直线1₁上是否存在点P，使△OBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）过点A作x轴的垂线1₃，在1₃上是否存在一点Q，使得△BDQ的周长最小？若存在，请求出点Q的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，即可解决问题．
（2）如图1中，作AQ⊥BC于Q．分两种情形求解①当x≥-1时，BM=$\sqrt{2}$（x+1），S=$\frac{1}{2}$•BM•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（x+1）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，②当x＜-1时，BM=$\sqrt{2}$（1-x），S=$\frac{1}{2}$•BM•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（1-x）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$x．
（3）如图2中，分三种情形①当OB=OP₁时，P₁在y轴上，②BP=BO时，③当P₄B=P₄O时，P₄在OB的垂直平分线上，分别求解即可．
（4）如图3中，连接BD．由题意D（0，2），C（2，0），B（-1，0），可得BD=$\sqrt{5}$，DC=2$\sqrt{2}$，因为B、C关于直线l₃对称，所以当点Q与A重合时，QD+QB最短，即△QBD的周长最短，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴点A坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（2）如图1中，作AQ⊥BC于Q．

∵B（-1，0），C（2，0），A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴AQ=BQ=QC=$\frac{3}{2}$，
∴∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
①当x≥-1时，BM=$\sqrt{2}$（x+1），
∴S=$\frac{1}{2}$•BM•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（x+1）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
②当x＜-1时，BM=$\sqrt{2}$（1-x），
S=$\frac{1}{2}$•BM•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$（1-x）×$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$x
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}}&{（x≥-1）}\\{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}x}&{（x＜-1）}\end{array}\right.$．
当S=6时，$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$=6或$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}\\;x$x=6，
解得x=3或-3．
此时M（3，4）或（-3，-2）．

（3）如图2中，

①当OB=OP₁时，P₁在y轴上，坐标为（0，1）．
②BP=BO时，可得P₂（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），P₃（-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
③当P₄B=P₄O时，P₄在OB的垂直平分线上，P₄（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
综上所述，当△OBP为等腰三角形时，点P坐标为（0，1）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（4）如图3中，连接BD．

由题意D（0，2），C（2，0），B（-1，0），
∴BD=$\sqrt{5}$，DC=2$\sqrt{2}$，
∵B、C关于直线l₃对称，
∴当点Q与A重合时，QD+QB最短，即△QBD的周长最短，
△QBD的周长的最小值为BD+AD+AB=BD+DA+AC=BD+DC=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积、等腰三角形的性质和判定、最短问题等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．