Question

已知方程：x³-3x²+（m+2）x-m=0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（　　）

• A、0＜m＜1
• B、m＞

  3

  4

• C、

  3

  4

  ＜m＜1
• D、1＜m＜

  4

  3

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：由x³-3x²+（m+2）x-m=0，利用因式分解法可得：（x-1）（x²-2x+m）=0，即可求得有一根为1，设x₁，x₂是x²-2x+m=0的两根，又由x³-3x²+（m+2）x-m=0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长，可得△=（-2）²-4m＞0，x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁，x₂=4-4m，又由|x₁-x₂|＜1，可得4-4m＜1，继而求得答案．

解答：解：∵x³-3x²+（m+2）x-m=（x³-x²）-[2x²-（m+2）x+m]=x²（x-1）-（2x-m）（x-1）=（x-1）（x²-2x+m）=0，
∴x-1=0或x²-2x+m=0，
∴有一根为1，
∵x³-3x²+（m+2）x-m=0的三个互不相等的实数根，
∴x²-2x+m=0有两个不相等的实数根为一个三角形三边的长，
∴△=（-2）²-4m＞0，
解得：m＜1，
设x₁，x₂是x²-2x+m=0的两根，
则x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁，x₂=4-4m，
∵|x₁-x₂|＜1，
∴4-4m＜1，
解得：m＞

3

4

，
∴实数m的取值范围是：

3

4

＜m＜1．
故选C．

点评：此题考查了三角形的三边关系、根与系数的关系、根的判别式以及因式分解的应用．此题难度较大，注意能得到（x-1）（x²-2x+m）=0是解此题的关键．