Question

10．在某节日前夕，几位同学到学校附近文具店调查一种进价为2元的节日贺卡的销售情况，每张定价3元，每天能卖出500张，每张售价每上涨0.1元，其每天销售量减少10个，另外，物价局规定，售价不得超过商品进价的240%，据此，请你解答下面问题：
（1）要实现每天800元的利润，应如何定价？
（2）800元的利润是否最大？如何定价，才能获得最大利润？

Answer 1

分析 （1）设定价为x元，根据“总利润=单件利润×销售量”列出方程求解可得；
（2）根据以上相等关系列出函数解析式，并配方成顶点式，据此可得函数的最值情况．

解答 解：（1）设要实现每天800元的利润定价为x元，根据题意，得
（x-2）[500-100（x-3）]=800，
整理得：x²-10x+24=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵物价局规定，售价不得超过商品进价的240%．即2×240%=4.8，
∴x₂=6不合题意舍去，
∴要实现每天800元的利润，应定价每张4元；

（2）设每天的利润为y元，
则y=（x-2）[500-100（x-3）]
=-100x²+1000x-1600
=-100（x-5）²+900
∵x≤5时，y随x的增大而增大，并且x≤4.8，
∴当x=4.8元时，利润最大，y_最大=-100（4.8-5）²+900=896＞800，
∴800元的利润不是最大利润，当定价为4.8元时，才能获得最大利润．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键．