题目内容
【题目】如图，已知抛物线
与
轴交于
、
两点(点在点的左侧)，与
轴交于点
，抛物线的对称轴与轴交于点
．
(1)请直接写出、两点的坐标及
的度数；
(2)如图1，若点
为抛物线对称轴上的点，且
，求点的坐标；
(3)如图
，若点
、
分别为线段
和
上的动点，且
，过、分别作轴的垂线，垂足分别为
、
．在、两点的运动过程中，试探究：
①
是否是一个定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由；
②若将
沿着
翻折得到
，将
沿着
翻折得到
，当点从点运动到点的过程中，求点
和点
的运动轨迹的长度之和．
【答案】（1）A（-3，0），B(1，0)，∠ACB=90°；（2）P（-1，-2）或P（-1，2）；（3）①
是一个定值，这个定值为1；②A′，B′的运动轨迹的长度之和为
．
【解析】
（1）先根据抛物线的解析式可求出点A，B，C的坐标，再分别求出AC，BC，AB的长，根据勾股定理的逆定理可以得出△ABC的形状，从而得出结果；
（2）先根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴，从而可得出点D的坐标，所以有DA=DC=DB=2，以D为圆心，2为半径作出⊙D，再得出∠CPB=
∠CDB，可知点P在⊙D上，进而可得出点P的坐标；
（3）①作DP⊥AC，DQ⊥BC，先证明△DPE∽△DQF，得出
；再证明△EMD∽△DNF，得出
，从而有DN=
ME，在Rt△AME中，有AM=ME，最后可得出AM=DN，进而可得出结论；②先证明△A′DF≌△BDF，得出A′与B′重合，再根据点A′在以D为圆心，2为半径的圆上运动，再求出点F从点B到点C的过程中，点A′运动的弧长所对应的圆心角的度数，即可得出结论．
解：（1）
中，令x=0得，y=；
令y=0得，
，解得x1=-3，x2=1，
∴A（-3，0），B(1，0)，C（0，），
∴OA=3，OB=1，OC=，
∴AB=4，AC=2，BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°；
（2）由得抛物线的对称轴为x=-1，
∴点D（-1,0），∴DA=DC=DB=2，
∴以D为圆心，2为半径作出⊙D，如图，
∵tan∠OCB=
，∴∠OCB=30°，
∴∠BPC=∠OCB=30°，∠OBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠CDB=60°，
∴∠CPB=∠CDB，
∴点P在⊙D上，PD=BD=2，分以下两种情况：
若点P在x轴下方，点P的坐标为（-1，-2）；
若点P在x轴上方，点P的坐标为（-1，2）．
综上所述，点P的坐标（-1，-2）或（-1，2）；
（3）①是一个定值，理由如下：
作DP⊥AC，DQ⊥BC，如图，则DP∥BC，DQ∥AC，
∵D为AB的中点，
∴DP=BC=1，DQ=AC=．
∵∠EDF=∠PDQ=90°，∴∠EDP=∠FDQ，
∴△DPE∽△DQF，∴．
又∵∠EDM+∠FDN=90°，∠EDM+∠DEM=90°，∴∠FDN=∠DEM，
∵∠EMD=∠DNF=90°，∴△EMD∽△DNF，∴，∴DN=ME，
∵在Rt△ABC中，AB=2AC，∴∠EAM=30°，∴AM=ME=DN，
∴=1，
故是一个定值，这个定值为1．
②如图，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，
∴DA′=DA，∠EDA′=∠EDA，
∴∠A′DF=∠EDF-∠EDA′=90°-∠EDA=∠FDB，
又AD=BD=A′D，DF=DF，
∴△A′DF≌△BDF（SAS），
∴将△BDF沿着DF翻折至△B′DF，则A′与B′重合，
由于A′运动过程中有DA′=DA=2，
∴A′在以D为圆心，2为半径的圆上运动．
当F在B点时，A′与B重合，
当F在C点时，如图所示，
此时△FDB为等边三角形，∴∠FDB=60°，
∴∠ADE=180°-∠EDF-∠FDB=30°，
∴∠A′DE=∠ADE=30°，∴∠A′DB=120°，
∴A′的运动轨迹长度为：
×2π×2=
，
∴A′，B′的运动轨迹长度之和为．
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【题目】随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为
(单位：km)，乘坐地铁的时间
(单位：min)是关于的一次函数，其关系如下表：
地铁站 | A | B | C | D | E |
x/km | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
y1/min | 16 | 20 | 24 | 26 | 28 |
(1)求关于的函数解析式；
(2)李华骑单车的时间
(单位：min)也受的影响，其关系可以用=
2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最时间．
