Question

如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一个动点，DE∥BC，延长BC到F，使CF=AD，连接DF交AC于P．
（1）求证：EP=CP；
（2）若△ABC的边长为a，CF长为b，且a、b满足，求CP长；
（3）若△ABC的边长为5，设CF=x，CP=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠AED=60°=∠A，
即△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=AD，
∵CF=AD，
∴DE=CF，
∵DE∥BC，
∴∠DEP=∠FCP，
在△DEP和△FCP中

∴△DEP≌△FCP（AAS），
∴EP=CP．

（2）解：∵，
∴a-5=0，b-3=0，
a=5，b=3，
即AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，
∴CP=EP=（5-3）=1．

（3）解：∵△ABC的边长为5，CF=x，CP=y，
∴AE=CF=x，CP=EP=y，
y与x间的函数关系是：y=（5-x）
y=-x+（0≤x＜5）．
分析：（1）根据等边三角形性质得出∠A=∠B=∠ACB=60°，根据平行线性质得出∠ADE=∠AED=60°=∠A，得出△ADE是等边三角形，推出DE=AE=AD，推出DE=CF，证出△DEP≌△FCP即可．
（2）得出a-5=0，b-3=0，求出AC=BC=AB=5，CF=AE=DE=3，即可得出答案．
（3）求出AE=CF=x，CP=EP=y，即可得出答案．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．