Question

2．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°．操作：小明取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，剪下△PEC（如图1），并将△PEC绕点P按逆时针方向旋转180°到△PFD的位置，拼成新的图形（如图2）．
（Ⅰ）思考与实践：
（1）操作后小明发现，拼成的新图形是矩形；
（2）如图图3中，已知AB∥CD，类比图2的剪拼方法，画出图3剪拼成一个平行四边形的示意图．
（Ⅱ）发现与运用：
小白又发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．
（1）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF⊥AB于点F，AB=5，EF=4，求梯形ABCD的面积．
（2）如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．

Answer 1

分析 思考与实践：
（1）根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断即可；
（2）取AD的中点P，过点P做PE∥BC交AB于E，交CD的延长线于F，根据旋转后三角形的一条边与四边形的一边在同一条直线上，构成平行四边形．
发现与运用：
（1）过点E作AB的平行线，交BC于点G，交AD的延长线于点H，得出S_梯形ABCD=S_□ABGH即可；
（2）分别取AB、BC的中点F、H，作直线FH，分别交AE、CD于点M、N，将△AMF与△CNH一起拼接到△FBH位置即可．

解答 解：（Ⅰ）（1）如图2所示，△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上，
∴EF∥AB，
又∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，
∴∠FDP+∠ADP=180°，
∴AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABEF是一个平行四边形，
∵∠A=90°，
∴拼成的新图形是矩形．
故答案为：矩形；

（2）如图所示，取AD的中点P，过点P做PE∥BC交AB于E，交CD的延长线于F，

△PEA绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上，
所以EF∥BC，
由于图中AB∥CD
所以图中四边形BCFE是平行四边形．

（Ⅱ）（1）如下图所示，过点E作AB的平行线，交BC于点G，交AD的延长线于点H，

∵AH∥CG，
∴∠H=∠CGE，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEH=∠CEG，
∴△DEH≌△CEG（AAS），
∴S_△DEH=S_△CEG，
∵AH∥BC，AB∥HC，
∴四边形ABGH是平行四边形，
∵EF⊥AB于点F，AB=5，EF=4，
∴平行四边形ABGH的面积=AB×EF=5×4=20，
∴梯形ABCD的面积=五边形ABGEDD的面积+△CEG的面积=五边形ABGEDD的面积+△DEH的面积=平行四边形ABGH的面积=20；

（2）能．
如图5，分别取AB、BC的中点F、H，作直线FH，分别交AE、CD于点M、N，将△AMF与△CNH一起拼接到△FBH位置即可．

点评 本题考查了旋转的性质、平行四边形及矩形的判定与性质以及割补法的运用．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及平行四边形，根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质得出结论．解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．