Question

10．根据下列材料，解答问题：
等比数列求和：
概念：对于一列数a₁，a₂，a₃，…a_n，…（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即$\frac{{a}_{k}}{{a}_{k-1}}$=q（常数），那么这一列数a₁，a₂，a₃，…，a_n，…成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比．
例：求等比数列$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{3}^{2}}$，$\frac{1}{{3}^{3}}$，…，$\frac{1}{{3}^{n}}$的和．
解：令S=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{8}}$①，则3S=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{7}}$②
由②-①得：2S=1-$\frac{1}{{3}^{8}}$=$\frac{{3}^{8}-1}{{3}^{8}}$，即S=$\frac{{3}^{8}-1}{2×{3}^{8}}$．
（1）模仿例题，求等比数列$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{{4}^{2}}$，$\frac{1}{{4}^{3}}$，…，$\frac{1}{{4}^{10}}$的和；
（2）填空：数列$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$，…$\frac{1}{{a}^{n}}$，（a≠1，n为正整数）的公比q=$\frac{1}{a}$，该数列各项的和为$\frac{{a}^{n}-1}{（a-1）{a}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）仿造例题令S=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{10}}$，找出4S=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{9}}$，二者做差即可得出S的值；
（2）用后项除以前一项即可得出公比，仿造例题利用错位相减法即可找出数列$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$，…$\frac{1}{{a}^{n}}$，（a≠1，n为正整数）的各项之和．

解答 解：（1）令S=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{10}}$①，则4S=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{9}}$②，
由②-①得：3S=1-$\frac{1}{{4}^{10}}$=$\frac{{4}^{10}-1}{{4}^{10}}$，
∴S=$\frac{{4}^{10}-1}{3×{4}^{10}}$．
（2）∵$\frac{\frac{1}{{a}^{2}}}{\frac{1}{a}}$=$\frac{1}{a}$，
∴q=$\frac{1}{a}$．
令S=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}^{n}}$①，则$\frac{1}{a}$S=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{3}}$+…+$\frac{1}{{a}^{n+1}}$②，
由①-②得：$\frac{a-1}{a}$S=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{n+1}}$=$\frac{{a}^{n}-1}{{a}^{n+1}}$，
∴S=$\frac{{a}^{n}-1}{（a-1）{a}^{n}}$．
故答案为：$\frac{1}{a}$；$\frac{{a}^{n}-1}{（a-1）{a}^{n}}$．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，利用错位相减法找出等比数列之和是解题的关键．