Question

15．已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边的长为7.5，两条直角边的长分别是关于x的方程x²-3（m+$\frac{1}{2}$）x+9m=0的两个根，则△ABC的内切圆面积是$\frac{9}{4}$π．

Answer 1

分析 设两直角边为a、b，根据根与系数的关系得出a+b=3（m+$\frac{1}{2}$），ab=9m，根据勾股定理得出a²+b²=7.5²，求出m，即可直角三角形的内切圆的半径，求出面积即可．

解答 解：设两直角边为a、b，
∵两条直角边的长分别是关于x的方程x²-3（m+$\frac{1}{2}$）x+9m=0的两个根，
∴a+b=3（m+$\frac{1}{2}$），ab=9m，
∵直角三角形的斜边为7.5，
∴a²+b²=7.5²，
∴（a+b）²-2ab=$\frac{225}{4}$，
∴9（m+$\frac{1}{2}$）²-18m=$\frac{225}{4}$，
解得：m=-2或3，
经检验m=-2不合题意，即m只能为3，
∴a+b=$\frac{7}{2}$，
∵直角三角形的内切圆的半径r=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴r=$\frac{3}{2}$，
∴△ABC的内切圆的面积为$\frac{9}{4}$π，
故答案为：$\frac{9}{4}$π．

点评 本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，根与系数的关系的应用，能求出m的值是解此题的关键．