Question

9．如图所示，反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与直线y=kx+b相交于A（2，4），B两点，直线AB交y轴于点C（0，2），交x轴于点E．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连接AD交x轴于点F，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）解反比函数与一次函数的解析式组成的方程组求得B的坐标，则D的坐标即可求得，利用待定系数法求得AD的解析式，则F的坐标即可求得，进而求得E的坐标，利用三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）把（2，4）代入y=$\frac{m}{x}$得m=8，
则反比例函数的解析式是y=$\frac{8}{x}$；
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式是y=x+2；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
则B的坐标是（-4，-2），D的坐标是（0，-2）．
设AD的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=4}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
则AD的解析式是y=3x-2．
当y=0时，3x-2=0，解得x=$\frac{2}{3}$，则F的坐标是（$\frac{2}{3}$，0）．
在y=x+2中，令y=0，解得x=-2，则E的坐标是（-2，0）．
则EF=2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．
则S_△AEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×4=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得B的坐标是解决本题的关键．